Examen Simulador IPN de Cálculo integral: Ejercicios del 11 al 20

Segunda parte del simulacro de cálculo integral para el examen de admisión al IPN. Vamos a resolver los reactivos del 11 al 20.

Reactivo 11

Hallar la integral indefinida:

$\int \frac{1}{x}\left[\left(2 x^{2}-3 x\right)^{2}+4\right] d x$

1. $x^{4}-4 x^{3}+\frac{9}{2} x^{2}+4 \ln |x|+C$
2. $x^{3}-4 x^{2}+\frac{9}{2} x+4 \ln |x|+C$
3. $x^{4}-4 x^{3}+4 x^{2}+C$
4. $x^{4}-4 x^{3}+4 x+C$

Solución:

Descomponemos la integral con la propiedad de la suma, aplicamos producto notable y luego empleamos las fórmulas de integración directa correspondientes.

$\int \frac{1}{x}\left[\left(2 x^{2}-3 x\right)^{2}+4\right] d x=\int \frac{1}{x}\left(2 x^{2}-3 x\right)^{2} d x+4 \int \frac{1}{x} d x$

Extraemos $x$ factor común de la primera integral.

$=\int \frac{x^{2}}{x}(2 x-3)^{2} d x+4 \int \frac{1}{x} d x$

Desarrollamos el producto notable.

$=\int x\left(4 x^{2}-12 x+9\right) d x+4 \int \frac{1}{x} d x$

$=\int\left(4 x^{3}-12 x^{2}+9 x\right) d x+4 \int \frac{1}{x} d x$

Descomponemos en integrales simples y aplicamos las fórmulas correspondientes.

$=\int 4 x^{3} d x-\int 12 x^{2} d x+\int 9 x d x+4 \int \frac{1}{x} d x$

$=x^{4}-4 x^{3}+\frac{9}{2} x^{2}+4 \ln (x)+C$

Comparando nuestra solución con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

Reactivo 12

Calcular la integral indefinida:

$\int \frac{d x}{\cos ^{2}(5 x)}$

1. $\frac{1}{5} \tan (5 x)+C$
2. $\frac{1}{5} \cot (5 x)+C$
3. $5 \tan (5 x)+C$
4. $5 \cot (5 x)+C$

Solución:

El método de integración por cambio de variable, nos permite transformar la integral a una más simple, en la que la función integrando tenga el mismo argumento que el diferencial, de esta forma la integral equivalente se resuelve con fórmulas directas.

En el integrando debe estar presente la derivada del argumento de la función, si no es nuestra tarea a partir de artificios matemáticos construir la expresión necesaria para el cambio de variable.

Comenzaremos por sustituir $\frac{1}{\cos ^{2}(5 x)}$ por $\sec ^{2}(5 x)$ con base en las identidades trigonométricas básicas.

$\int \frac{d x}{\cos ^{2}(5 x)}=\int \sec ^{2}(5 x) d x$

El argumento $5 x$ es distinto al diferencial $d x$. Aplicamos cambio de variable.

$w=5 x \rightarrow d w=5 d x$

$\therefore d x=\frac{1}{5} d w$

Sustituimos y dejamos todo en términos de .

$\int \sec ^{2}(5 x) d x \sim \frac{1}{5} \int \sec ^{2}(w) d w$

Aplicamos la integral trigonométrica directa:

$\int \sec ^{2}(w) d w=\tan w+C$

$\rightarrow \frac{1}{5} \int \sec ^{2}(w) d w=\frac{1}{5} \tan w+C$

Para concluir, solo queda devolver el cambio de variable.

$D C V . \rightarrow \frac{1}{5} \tan w+C \sim \frac{1}{5} \tan (5 x)+C$

Finalmente:

$\int \frac{d x}{\cos ^{2}(5 x)}=\frac{1}{5} \tan (5 x)+C$

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

Reactivo 13

Resolver la siguiente integral indefinida:

$\int \operatorname{sen}^{2} \theta d \theta$

1. $\frac{1}{2} \theta-\frac{1}{4} \operatorname{sen} 2 \theta+C$
2. $\frac{1}{2} \theta-\frac{1}{2} \operatorname{sen} 2 \theta+C$
3. $\frac{1}{2} \theta+\frac{1}{4} \operatorname{sen} 2 \theta+C$
4. $\frac{1}{2} \theta+\frac{1}{2} \operatorname{sen} 2 \theta+C$

Solución:

En primera instancia, no hay un cambio de variable evidente en la integral. Si aplicamos la identidad: $\operatorname{sen}^{2} \theta=\frac{1-\cos (2 \theta)}{2}$ se simplifica la integral.

$\int \operatorname{sen}^{2} \theta d \theta=\int \frac{1-\cos (2 \theta)}{2} d \theta$

Simplificamos y separamos.

$\int \frac{1-\cos (2 \theta)}{2} d \theta=\int \frac{1}{2} d \theta-\frac{1}{2} \int \cos (2 \theta) d \theta$

Se aplica cambio de variable a la segunda integral en el argumento del coseno.

$w=2 \theta \rightarrow d w=2 d \theta$

$\therefore d \theta=\frac{1}{2} d w$

Sustituimos en la segunda integral.

$=\int \frac{1}{2} d \theta-\frac{1}{2} \int \cos (2 \theta) d \theta \sim \int \frac{1}{2} d \theta-\frac{1}{4} \int \cos (w) d w$

Según las integrales para funciones trigonométricas.

$\int \cos (w) d w=\sin (\theta)+C$

$\int \frac{1}{2} d \theta-\frac{1}{4} \int \cos (w) d w=\frac{\theta}{2}-\frac{1}{4} \sin (\theta w)+C$

Devolvemos el cambio de variable.

$\frac{\theta}{2}-\frac{1}{4} \sin (w)+C \sim \frac{\theta}{2}-\frac{1}{4} \sin (2 \theta)+C$

Finalmente.

$\int \operatorname{sen}^{2} \theta d \theta=\frac{\theta}{2}-\frac{1}{4} \sin (2 \theta)+C$

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

Reactivo 14

Hallar la integral indefinida:

$\int 6 a^{3 x} d x$

1. $6 a^{3 x}+C$
2. $6 a^{3 x} \ln a+C$
3. $2 a^{3 x} \ln a+C$
4. $2 \frac{a^{3 x}}{\ln a}+C$

Solución:

Extrayendo la constante del integrando, esta integral se resuelve con la fórmula para una función exponencial.

$\int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C,(a>0, a \neq 1)$

Lo único que queda para aplicar la fórmula es que el exponente y el símbolo del diferencial sean iguales. Optamos por un cambio de variables.

$w=3 x \rightarrow d w=3 d x$

$\therefore d x=\frac{1}{3} d w$

Cambio de Variable.

$6 \int a^{3 x} d x \sim \frac{6}{3} \int a^{w} d w$

Resolvemos.

$\frac{6}{3} \int a^{w} d w=2 \frac{a^{w}}{\ln a}+C$

Devolvemos cambio de variable.

$2 \frac{a^{w}}{\ln a}+C \sim 2 \frac{a^{3 x}}{\ln a}+C$

Finalmente.

$6 \int a^{3 x} d x=2 \frac{a^{3 x}}{\ln a}+C$

En base a las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

Reactivo 15

Resolver la siguiente integral indefinida:

$\int\left(\frac{2 x-7}{x^{2}-7 x+3}\right) d x$

1. $\frac{\left(x^{2}-7 x+3\right)^{2}}{2}+C$
2. $\left(x^{2}-7 x+3\right)^{2}+C$
3. $\log \left(x^{2}-7 x+3\right)+C$
4. $\ln \left|x^{2}-7 x+3\right|+C$

Solución:

El cambio de variable se le hará a la expresión que se encuentra en el denominador de la integral, ya que si examinamos, el numerador es su derivada. El CV quedaría:

$w=x^{2}-7 x+3 \rightarrow d w=(2 x-7) d x$

$(2 x-7) d x$ es lo que se encuentra en el numerador de nuestra integral. Aplicamos el cambio.

$\int\left(\frac{2 x-7}{x^{2}-7 x+3}\right) d x \sim \int \frac{1}{w} d w$

Esta nueva integral corresponde a una de las formulas básicas.

$\int \frac{1}{w} d w=\ln |w|+C$

Devolviendo el cambio de variable.

$\ln |w|+C \sim \ln \left|x^{2}-7 x+3\right|+C$

Finalmente.

$\int\left(\frac{2 x-7}{x^{2}-7 x+3}\right) d x=\ln \left|x^{2}-7 x+3\right|+C$

Comparando el resultado con las opciones del problema, la respuesta correcta es la d).

Reactivo 16

Realizar la siguiente integral:

$\int \frac{e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

1. $4 e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}+C$
2. $\frac{4}{2} e^{\frac{x}{2}}+C$
3. $\frac{1}{4} e^{2 \sqrt{x}}+C$
4. $4 e^{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}+C$

Solución:

El cambio de variables en este caso debe hacerse al exponente de $e$, pues no llegaríamos a ningún lugar haciéndolo de forma contraria.

$w=\frac{\sqrt{x}}{2} \rightarrow d w=\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2} d x$

$d w=\frac{1}{4 \sqrt{x}} d x \rightarrow \frac{d x}{\sqrt{x}}=4 d w$

Aplicando el cambio de variables a la integral nos queda:

$\int \frac{e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}}{\sqrt{x}} d x \sim 4 \int e^{w} d w$

Resolvemos aplicando la fórmula para la integral de una exponencial.

$4 \int e^{w} d w=4 e^{w}+c$

Devolviendo el CV.

$4 e^{w}+c \sim 4 e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}+c$

Finalmente

$\int \frac{e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}}{\sqrt{x}} d x=4 e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}+c$

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

Reactivo 17

Calcular la integral indefinida:

$\int x^{2}\left(1+x^{3}\right)^{3} d x$

1. $\left(1+x^{3}\right)^{3}+C$
2. $\left(1+x^{3}\right)^{4}+C$
3. $\frac{1}{4}\left(1+x^{3}\right)^{4}+C$
4. $\frac{1}{12}\left(1+x^{3}\right)^{4}+C$

Solución:

Aunque podríamos desarrollar el producto notable y simplificar luego para integrar de forma directa, otra vía para resolver esta integral es mediante un cambio de variable. Ya que fuera de la potencia cubica esta un $x^{2}$ que tiene la forma de la derivada de $x^{2}$, aplicaremos CV al argumento de la potencia cubica.

$w=1+x^{3} \rightarrow d w=3 x^{2} d x$

$x^{2} d x=\frac{1}{3} d w$

Aplicando el cambio de variable queda:

$\frac{1}{3} \int w^{2} d w=\frac{\omega^{4}}{12}+C$

Devolviendo en CV.

$\frac{\omega^{4}}{12}+C \sim \frac{\left(1+x^{3}\right)^{4}}{12}+C$

Finalmente

$\int x^{2}\left(1+x^{3}\right)^{3} d x=\frac{\left(1+x^{3}\right)^{4}}{12}+C$

Comprando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

Reactivo 18

Calcular la integral:

$\int \operatorname{sen}(2 x) \cdot \cos (2 x) d x$

1. $\cos (4 x)+C$
2. $\operatorname{sen}^{2}(2 x)+C$
3. $\frac{1}{2} \cos ^{2}(2 x)+C$
4. $\frac{1}{4} \operatorname{sen}^{2}(2 x)+C$

Solución:

Para este cambio de variables, nos apoyaremos en el hecho de que la derivada del seno es el coseno, por lo que ya tenemos en el integrando la derivada sin necesidad de acomodar demasiado la expresión.

$w=\operatorname{sen} 2 x \rightarrow d w=2 \cos 2 x d x$

$\cos 2 x d x=\frac{1}{2} d w$

Aplicamos el CV en la integral.

$\int \operatorname{sen}(2 x) \cdot \cos (2 x) d x \sim \frac{1}{2} \int w d w$

Resolvemos la integral inmediata resultante.

$\frac{1}{2} \int w d w=\frac{w^{2}}{4}+C$

Devolviendo el CV.

$\frac{w^{2}}{4}+C \sim \frac{\operatorname{sen}^{2} 2 x}{4}+C$

Finalmente.

$\int \operatorname{sen}(2 x) \cdot \cos (2 x) d x=\frac{\operatorname{sen}^{2} 2 x}{4}+C$

Comprando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

Reactivo 19

Determinar la integral:

$\int e^{3 x^{2}} x d x$

1. $\frac{1}{6} x e^{3 x^{2}}+C$
2. $\frac{1}{6} e^{3 x^{2}}+C$
3. $\frac{1}{3} e^{x^{2}}+C$
4. $e^{3 x^{2}}+C$

Solución:

El cambio de variables se efectúa al exponente de la base . Ya que el mismo es $x^{2}$ y en el integrando esta una $x$ de exponente 1 (que corresponde en parte a su derivada) el cambio de variable es fácil de ver.

$w=3 x^{2} \rightarrow d w=6 x d x$

$\rightarrow \frac{1}{6} d w=x d x$

Aplicando el CV.

$\int e^{3 x^{2}} x d x \sim \frac{1}{6} \int e^{w} d w$

Hacemos uso de la formular para la integral del exponencial.

$\frac{1}{6} \int e^{w} d w=\frac{1}{6} e^{w}+C$

Devolviendo el CV.

$\frac{1}{6} e^{w}+C \sim \frac{1}{6} e^{3 x^{2}}+C$

Finalmente.

$\int e^{3 x^{2}} x d x=\frac{1}{6} e^{3 x^{2}}+C$

Comparando con las opciones del problema, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 20

Calcular la integral indefinida:

$\int \frac{\operatorname{sen}(2 t)}{\cos ^{2}(2 t)} d t$

1. $-\sec (2 t)+C$
2. $-\cos ^{3}(2 t)+C$
3. $\frac{1}{2} \sec (2 t)+C$
4. $\frac{1}{3} \cos ^{3}(2 t)+C$

Solución:

En este caso, se aplicará el cambio de variable al coseno que se encuentra al denominador, solo al coseno, no al coseno cuadrado. Como la derivada del coseno es menos seno, construir el cambio de variable será sencillo.

$w=\cos 2 t \rightarrow d w=-2 \operatorname{sen} 2 t d t$

$\operatorname{sen} 2 t d t=-\frac{1}{2} d w$

Aplicando el CV.

$\int \frac{\operatorname{sen}(2 t)}{\cos ^{2}(2 t)} d t \sim-\frac{1}{2} \int \frac{1}{w^{2}} d w$

Resolvemos aplicando la fórmula para la integral de una potencia.

$-\frac{1}{2} \int \frac{1}{w^{2}} d w=-\frac{1}{2} \frac{w^{-2+1}}{-2+1}+C$

$=\frac{1}{2} \cdot w^{-1}+C$

Devolviendo el cambio de variable.

$\frac{1}{2} \cdot w^{-1}+C \sim \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos 2 t}+C$

Ya que $\frac{1}{\cos 2 t}=\sec 2 t$ aplicamos la identidad trigonométrica.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos 2 t}+C=\frac{1}{2} \sec 2 t+C$

Finalmente.

$\int \frac{\operatorname{sen}(2 t)}{\cos ^{2}(2 t)} d t=\frac{1}{2} \sec 2 t+C$

Comparando con las opciones del problema, la respuesta correcta es la c).