Examen simulacro Guía EXANI-II Cálculo reactivos del 41 al 50

¡Llegamos a la última parte, aspirante! En este tutorial resolveremos la quinta parte del examen simulacro para la guía EXANI II de Cálculo diferencial e integral, desde el reactivo 41 hasta el 50.

Examen simulacro Guía EXANI II Cálculo 50 reactivos explicados parte 5

Recuerda desarrollarlos por tu cuenta antes de revisar la solución.

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Reactivo 41

Relacione la integral con la sustitución trigonométrica que permite resolverla.

  1. 1a, 2c, 3b
  2. 1c, 2a, 3b
  3. 1b, 2c, 3a

Solución:

El método de integración por sustitución trigonométrica, consiste en armar un triángulo rectángulo con los elementos que conforman una expresión matemática similar al teorema de Pitágoras.

A partir de esto, se deducen 3 posibles cambios de variable:

Teniendo esto como referencia, podemos ir relacionando el cambio de la columna derecha con la integral en la columna izquierda.

Primera integral.

\int \frac{dx}{{\left(4-{x}^{2}\right)}^{3/2}}=\int \frac{dx}{{\left({2}^{2}-{x}^{2}\right)}^{3/2}}

Examinando la imagen, corresponde al primer caso.

x=2\mathrm{sin}\theta 

1a.

Segunda integral.

\int \frac{{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}-16}}dx=\int \frac{{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}-{4}^{2}}}dx

Corresponde al segundo caso.

x=4\mathrm{sec}\theta 

2c.

Por descartes: 3b. Uniendo todas las respuestas parciales nos queda: 1a, 2c, 3b.

La respuesta correcta es el inciso a).

Reactivo 42

Aplicando el método de integración fracciones parciales, encuentre la solución a la siguiente integral.

\int \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{4}-{x}^{3}}dx

  1. I=-\mathrm{ln}\left|x\right|+\frac{1}{x}+\frac{1}{2{x}^{2}}+2\mathrm{ln}\left|x-1\right|+C
  2. I=-\mathrm{ln}\left|x\right|+\frac{1}{x}+\frac{1}{2{x}^{2}}+C
  3. I=-\frac{1}{x}+\frac{1}{2{x}^{2}}+2\mathrm{ln}\left|x-1\right|+C

Solución:

Antes de separar en fracciones parciales, vamos a extraer factor común {x}^{3} en el denominador.

\int \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{4}-{x}^{3}}dx=\int \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{3}\left(x-1\right)}dx

Procedemos a separar en fracciones parciales, teniendo en cuenta que la triple potencia de x se descompone en 3 fracciones.

\frac{{x}^{3}+1}{{x}^{3}\left(x-1\right)}=\frac{{a}_{1}}{x}+\frac{{a}_{2}}{{x}^{2}}+\frac{{a}_{3}}{{x}^{3}}+\frac{{a}_{4}}{x-1}

Pasamos a multiplicar el denominador de la izquierda hacia la derecha.

{x}^{3}+1={a}_{1}{x}^{2}\left(x-1\right)+{a}_{2}x\left(x-1\right)+{a}_{3}\left(x-1\right)+{a}_{4}{x}^{3}

Desarrollando y agrupando nos queda:

\left({a}_{1}+{a}_{4}\right){x}^{3}+\left({a}_{2}-{a}_{1}\right){x}^{2}+\left({a}_{3}-{a}_{2}\right)x-{a}_{3}={x}^{3}+1

Igualamos términos.

\begin{array}{c}\begin{array}{c}{a}_{1}+{a}_{4}=1\\ {a}_{2}-{a}_{1}=0\end{array}\\ \begin{array}{c}{a}_{3}-{a}_{2}=0\\ -{a}_{3}=1\end{array}\end{array}

Despejamos de forma directa a {a}_{3} .

{a}_{3}=-1

\begin{array}{c}{a}_{1}+{a}_{4}=1\\ {a}_{2}-{a}_{1}=0\\ -1-{a}_{2}=0\end{array}

Despejamos a {a}_{2} .

{a}_{2}=-1

Despejamos a {a}_{1} .

{a}_{1}=-1

Finalmente, obtenemos el valor de {a}_{4} .

{a}_{4}=1+1=2

Sustituimos en la descomposición en fracciones parciales.

\frac{{x}^{3}+1}{{x}^{3}\left(x-1\right)}=-\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{{x}^{3}}+\frac{2}{x-1}

Sustituimos en la integral.

\int \left(-\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{{x}^{3}}+\frac{2}{x-1}\right)dx=-\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{1}{{x}^{2}}dx-\int \frac{1}{{x}^{3}}dx+2\int \frac{1}{x-1}dx

Integramos de forma directa aplicando la fórmula del inverso de x y de una potencia.

-\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{1}{{x}^{2}}dx-\int \frac{1}{{x}^{3}}dx+2\int \frac{1}{x-1}dx=-\mathrm{ln}\left|x\right|+\frac{1}{x}+\frac{1}{2{x}^{2}}+2\mathrm{ln}\left|x-1\right|+C

Finalmente:

\int \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{4}-{x}^{3}}dx=-\mathrm{ln}\left|x\right|+\frac{1}{x}+\frac{1}{2{x}^{2}}+2\mathrm{ln}\left|x-1\right|+C

Concluimos indicando como respuesta correcta al inciso a).

Reactivo 43

Dada la integral:

\int \frac{11{x}^{2}-10x+3}{4{x}^{3}-4{x}^{2}+x}dx

¿Cuál es la separación en fracciones parciales que permite simplificar su solución?

  1. \frac{11{x}^{2}-10x+3}{4{x}^{3}-4{x}^{2}+x}=\frac{11{x}^{2}}{4{x}^{3}-4{x}^{2}+x}-\frac{10x}{4{x}^{3}-4{x}^{2}+x}+\frac{3}{4{x}^{3}-4{x}^{2}+x}
  2. \frac{11{x}^{2}-10x+3}{4{x}^{3}-4{x}^{2}+x}=\frac{11}{x}-\frac{10x}{2x-1}+\frac{3}{{\left(2x-1\right)}^{2}}
  3. \frac{11{x}^{2}-10x+3}{4{x}^{3}-4{x}^{2}+x}=\frac{3}{x}-\frac{1}{2\left(2x-1\right)}+\frac{3}{{2\left(2x-1\right)}^{2}}

Solución:

Extraemos factor común x del denominador y aplicamos fracciones parciales.

\frac{11{x}^{2}-10x+3}{4{x}^{3}-4{x}^{2}+x}=\frac{11{x}^{2}-10x+3}{x\left(4{x}^{2}-4x+1\right)}

Factorizamos el polinomio de segundo grado.

\frac{11{x}^{2}-10x+3}{x\left(4{x}^{2}-4x+1\right)}=\frac{11{x}^{2}-10x+3}{x{\left(2x-1\right)}^{2}}

Aplicamos fracciones parciales.

\frac{11{x}^{2}-10x+3}{x{\left(2x-1\right)}^{2}}=\frac{{a}_{1}}{x}+\frac{{a}_{2}}{2x-1}+\frac{{a}_{3}}{{\left(2x-1\right)}^{2}}

Pasamos a multiplicar el denominador de la fracción de la izquierda.

11{x}^{2}-10x+3={a}_{1}{\left(2x-1\right)}^{2}+{a}_{2}x\left(2x-1\right)+{a}_{3}x

Desarrollando y agrupando nos queda:

\left(4{a}_{1}+2{a}_{2}\right){x}^{2}+\left({a}_{3}-4{a}_{1}-{a}_{2}\right)x+{a}_{1}=11{x}^{2}-10x+3

Igualamos los coeficientes de términos semejantes.

\begin{array}{c}4{a}_{1}+2{a}_{2}=11\\ {a}_{3}-4{a}_{1}-{a}_{2}=-10\\ {a}_{1}=3\end{array}

El valor de {a}_{1} lo obtenemos de manera directa. Sustituimos el resto de expresiones.

\begin{array}{c}4\left(3\right)+2{a}_{2}=11\\ {a}_{3}-4\left(3\right)-{a}_{2}=-10\end{array}\to \begin{array}{c}12+2{a}_{2}=11\\ {a}_{3}-12-{a}_{2}=-10\end{array}\to \begin{array}{c}{a}_{2}=-\frac{1}{2}\\ {a}_{3}-{a}_{2}=2\end{array}

{a}_{3}+\frac{1}{2}=2\to {a}_{3}=\frac{3}{2}

Sustituyendo los coeficientes en la descomposición nos queda:

\frac{11{x}^{2}-10x+3}{x{\left(2x-1\right)}^{2}}=\frac{3}{x}-\frac{1}{2\left(2x-1\right)}+\frac{3}{2{\left(2x-1\right)}^{2}}

La respuesta correcta es el inciso c).

Reactivo 44

Dada la siguiente gráfica, identifique cuál de las siguientes integrales definidas representa el cálculo del área sombreada.

  1. {\int }_{-2}^{1}\left|x\right|dx
  2. {\int }_{-2}^{1}\left(x-1\right)dx
  3. {\int }_{-2}^{1}\left|x+1\right|dx

Solución:

La función que se muestra en la figura, corresponde a la función valor absoluto desplazada hacia el -1. Este corrimiento lo expresamos como:

f\left(x\right)=\left|x-\left(-1\right)\right|=\left|x+1\right|

Teniendo en cuenta que el intervalo de integración es \left[-2, 1\right] , la integral definida que nos entrega el área bajo la función en este intervalo es:

{\int }_{-2}^{1}\left|x+1\right|dx

Indicamos como respuesta correcta al inciso c).

Reactivo 45

¿Cuál es el área debajo de la curva y=\sqrt{x-1} en el intervalo \left[1, 4\right] ?

  1. I=2\sqrt{3}
  2. I=2
  3. I=\sqrt{2}

Solución:

Establecemos la integral para calcular el área bajo la curva en el intervalo dado.

{\int }_{1}^{4}\sqrt{x-1}dx

Debemos aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver la integral definida.

{\int }_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)

Donde F es la primitiva de f . Iniciamos integrando indefinidamente.

{\int }_{1}^{4}\sqrt{x-1}dx={\int }_{1}^{4}{\left(x-1\right)}^{1/2}dx=\left.\frac{{\left(x-1\right)}^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]\begin{array}{c}4\\  \\ 1\end{array}=\left.\frac{{2\left(x-1\right)}^{3/2}}{3}\right]\begin{array}{c}4\\  \\ 1\end{array}

Evaluamos la primitiva en los extremos.

\left.\frac{{2\left(x-1\right)}^{3/2}}{3}\right]\begin{array}{c}4\\  \\ 1\end{array}=\frac{{2\left(4-1\right)}^{3/2}}{3}-\frac{{2\left(1-1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}=\frac{2}{3}{3}^{\frac{3}{2}}-0=2\sqrt{3}

Finalmente:

{\int }_{1}^{4}\sqrt{x-1}dx=2\sqrt{3}\approx 3.4641

Indicamos como respuesta correcta al inciso a).

Reactivo 46

Calcule la siguiente integral definida.

{\int }_{0}^{\pi }\sqrt{2+2\mathrm{cos}\alpha }d\alpha 

  1. I=1
  2. I=4
  3. I=-4

Solución:

Para encontrar el valor de la integral, aplicamos el segundo teorema fundamental del cálculo. Iniciamos integrando indefinidamente.

{\int }_{0}^{\pi }\sqrt{2+2\mathrm{cos}\alpha }d\alpha 

Extraemos factor común al 2.

{\int }_{0}^{\pi }\sqrt{2+2\mathrm{cos}\alpha }d\alpha =\sqrt{2}{\int }_{0}^{\pi }\sqrt{1+\mathrm{cos}\alpha }d\alpha 

Examinando las identidades trigonométricas, tenemos que:

\mathrm{cos}\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\mathrm{cos}\alpha }{2}}

Despejando a la raíz nos queda:

\sqrt{1+\mathrm{cos}\alpha }=\sqrt{2}\mathrm{cos}\left(\frac{\alpha }{2}\right)

Sustituimos.

\sqrt{2}{\int }_{0}^{\pi }\sqrt{1+\mathrm{cos}\alpha }d\alpha =\sqrt{2}{\int }_{0}^{\pi }\sqrt{2}\mathrm{cos}\left(\frac{\alpha }{2}\right)d\alpha =2{\int }_{0}^{\pi }\mathrm{cos}\left(\frac{\alpha }{2}\right)d\alpha 

Integramos de forma inmediata.

2{\int }_{0}^{\pi }\mathrm{cos}\left(\frac{\alpha }{2}\right)d\alpha =\left.\begin{array}{c}\\ 2\left[2\mathrm{sin}\left(\frac{\alpha }{2}\right)\right]\\ \end{array}\right]\begin{array}{c}\pi \\  \\ 0\end{array}=\left.\begin{array}{c}\\ 4\mathrm{sin}\left(\frac{\alpha }{2}\right)\\ \end{array}\right]\begin{array}{c}\pi \\  \\ 0\end{array}=4\mathrm{sin}\left(\frac{\pi }{2}\right)-4\mathrm{sin}\left(0\right)=4\left(1\right)-0

Finalmente:

{\int }_{0}^{\pi }\sqrt{2+2\mathrm{cos}\alpha }d\alpha =4

La respuesta correcta es el inciso b).

Reactivo 47

Hallar el área de la región encerrada por el eje x , la curva y=\sqrt{x+1} y la recta y=-x+5 . Tenga en cuenta que la recta y la curva se interceptan en x=3 .

  1. I=22
  2. I=\frac{22}{3}
  3. I=\frac{3}{22}

Solución:

Iniciamos graficando la recta y la curva.

A partir de la gráfica, vemos que desde -1 hasta 3 debemos integrar con \sqrt{x+1} , mientras que desde 3 hasta 5 es necesario utilizar la recta. El área de la región descrita por la curva la recta y el eje x se obtiene como:

A={\int }_{-1}^{3}\sqrt{x+1}dx+{\int }_{3}^{5}\left(-x+5\right)dx

En ambos casos integramos indefinidamente y luego evaluamos en los extremos.

A=\left.\frac{{2\left(x+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}\right]\begin{array}{c}3\\  \\ -1\end{array}+\left.\left(-\frac{{x}^{2}}{2}+5x\right)\right]\begin{array}{c}5\\  \\ 3\end{array}

Evaluamos por separado para no hacer ilegible la solución.

{A}_{1}=\left.\frac{{2\left(x+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}\right]\begin{array}{c}3\\  \\ -1\end{array}=\frac{{2\left(3+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{{2\left(-1+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}=\frac{16}{3}-0=\frac{16}{3}

{A}_{2}=\left[-\frac{{5}^{2}}{2}+5\left(5\right)\right]-\left[-\frac{{3}^{2}}{2}+5\left(3\right)\right]=\frac{25}{2}-\frac{21}{2}=2

A={A}_{1}+{A}_{2}=\frac{16}{3}+2=\frac{22}{3}

La respuesta correcta es el inciso b).

Reactivo 48

Calcule la longitud de la curva plana y=\mathrm{ln}\left[\mathrm{cos}x\right] en el intervalo x\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right] .

  1. L=\mathrm{ln}\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}}\right)
  2. L=\mathrm{ln}\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)
  3. L=\mathrm{ln}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)

Solución:

Para calcular la longitud de cualquier curva, empleamos la siguiente ecuación integral.

L={\int }_{a}^{b}\sqrt{1+{\left[{f}^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^{2}}dx

Iniciamos calculando la derivada de la función.

{f}^{\text{'}}\left(x\right)={\left[\mathrm{ln}\left(\mathrm{cos}x\right)\right]}^{\text{'}}=-\frac{\mathrm{sin}x}{\mathrm{cos}x}=-\mathrm{tan}x

Sustituimos en la expresión.

L={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{1+{\mathrm{tan}x}^{2}}dx

Sustituimos 1+{\mathrm{tan}x}^{2} por {\mathrm{sec}}^{2}x mediante la identidad pitagórica.

L={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{1+{\mathrm{tan}x}^{2}}dx={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{{\mathrm{sec}}^{2}x}dx={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\mathrm{sec}xdx

Integramos indefinidamente.

{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\mathrm{sec}xdx=\left.\begin{array}{c}\\ \mathrm{ln}\left|\mathrm{sec}x+\mathrm{tan}x\right|\\ \end{array}\right]\begin{array}{c}\frac{\pi }{4}\\  \\ \frac{\pi }{6}\end{array}=\mathrm{ln}\left(1+\sqrt{2}\right)-\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(3\right)=\mathrm{ln}\left(1+\sqrt{2}\right)-\mathrm{ln}\left(\sqrt{3}\right)

\mathrm{ln}\left(1+\sqrt{2}\right)-\mathrm{ln}\left(\sqrt{3}\right)=\mathrm{ln}\left(\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)

Finalmente:

L={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{1+{\mathrm{tan}x}^{2}}dx=\mathrm{ln}\left(\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)

La respuesta correcta es el inciso a).

Reactivo 49

Hallar el área encerrada entre las curvas f\left(x\right)={x}^{2} , g\left(x\right)=\frac{1}{x} y el eje x en el intervalo x\left[\frac{1}{2}, 2\right] . Tenga en cuenta que la intersección entre las curvas ocurre en P\left(1, 1\right) .

  1. I=0.985
  2. I=0.85
  3. I=1

Solución:

Iniciamos graficando las funciones para identificar los intervalos de integración para cada una.

A={\int }_{\frac{1}{2}}^{1}{x}^{2}dx+{\int }_{1}^{2}\frac{1}{x}dx

Integramos indefinidamente.

A=\left.\frac{{x}^{3}}{3}\right]\begin{array}{c}1\\  \\ \frac{1}{2}\end{array}+\left.\begin{array}{c}\\ \mathrm{ln}\left|x\right|\\ \end{array}\right]\begin{array}{c}2\\ \\ 1\end{array}=\frac{1}{3}-\frac{1}{24}+\mathrm{ln}2-\mathrm{ln}1=\frac{7}{24}+\mathrm{ln}2

A=\frac{7}{24}+\mathrm{ln}2\approx 0.9848

Comparando con los incisos, indicamos como respuesta correcta el a).

Reactivo 50

La catenaria, es una curva muy utilizada en arquitectura debido a que representa la mejor solución para la construcción de arcos, cuya ecuación viene descrita como:

y=a\mathrm{cosh}\left(\frac{x}{a}\right)

Ahora, el arco para determinada construcción, viene dado por la ecuación y=10-\mathrm{cosh}\left(x\right) y cuya gráfica es:

Calcule la longitud de dicho arco en el intervalo x\left[-3, 3\right] . Tenga en cuenta que:

\mathrm{sinh}x=\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}; \mathrm{cosh}x=\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}

{\mathrm{cosh}}^{2}x-{\mathrm{senh}}^{2}x=1

\int \mathrm{cosh}xdx=\mathrm{sinh}x+C

  1. L=\frac{1}{{e}^{3}}
  2. L=\frac{{e}^{6}-1}{{e}^{3}}
  3. L=\frac{-1}{{e}^{6}}

Solución:

Dejando a un lado el enunciado, que en su mayoría nos da contexto de la aplicación de la catenaria, debemos emplear la ecuación integral para calcular la longitud de una curva.

L={\int }_{a}^{b}\sqrt{1+{\left[{f}^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^{2}}dx

Encontramos la derivada de la función.

{f}^{\text{'}}\left(x\right)={\left[10-\mathrm{cosh}\left(x\right)\right]}^{\text{'}}=-{\left[\mathrm{cosh}\left(x\right)\right]}^{\text{'}}

Vamos a sustituir al coseno hiperbólico por su expresión en términos de exponenciales.

{f}^{\text{'}}\left(x\right)=-{\left[\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}\right]}^{\text{'}}=-\frac{1}{2}{\left({e}^{x}+{e}^{-x}\right)}^{\text{'}}=-\frac{1}{2}\left({e}^{x}-{e}^{-x}\right)=-\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}

Esto es igual al seno hiperbólico.

{f}^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}=-\mathrm{sinh}x

Sustituimos a los extremos y a la función en la integral.

L={\int }_{-3}^{3}\sqrt{1+{\left[-\mathrm{sinh}x\right]}^{2}}dx={\int }_{-3}^{3}\sqrt{1+{\mathrm{sinh}}^{2}x}dx

Ahora, aplicamos la identidad del enunciado.

{\mathrm{cosh}}^{2}x-{\mathrm{senh}}^{2}x=1\to {\mathrm{cosh}}^{2}x=1+{\mathrm{senh}}^{2}x

Sustituimos.

{\int }_{-3}^{3}\sqrt{{\mathrm{cosh}}^{2}x}dx={\int }_{-3}^{3}{\mathrm{cosh}}^{2}xdx=\left.\begin{array}{c}\\ \mathrm{sinh}x\\ \end{array}\right]\begin{array}{c}3\\ \\ -3\end{array}

Evaluamos a la primitiva en los extremos de integración.

L=\left.\begin{array}{c}\\ \mathrm{sinh}x\\ \end{array}\right]\begin{array}{c}3\\ \\ -3\end{array}=\mathrm{sinh}3-\mathrm{sinh}-3=\frac{{e}^{3}-{e}^{-3}}{2}-\frac{{e}^{-3}-{e}^{3}}{2}=\frac{{e}^{3}}{2}-\frac{{e}^{-3}}{2}-\frac{{e}^{-3}}{2}+\frac{{e}^{3}}{2}

L={e}^{3}-\frac{1}{{e}^{3}}=\frac{{e}^{6}-1}{{e}^{3}}

La longitud de la curva es igual a \frac{{e}^{6}-1}{{e}^{3}} unidades.

La respuesta correcta es el inciso b).