Guía UNAM Matemáticas: Área 2 Cs Biológicas Químicas y Salud Parte 3

En este tutorial daremos solución de la tercera y última parte de los reactivos de matemáticas área 2, en este caso del 66 al 69, de la guía de Ciencias Biológicas, Químicas y de la Salud, como preparación al examen de ingreso UNAM.

El siguiente es un resumen de la prueba de ingreso a la UNAM:

En Ciencias Biológicas y similares, se suele pensar que las matemáticas juegan un papel secundario, pero al igual que en todas las ciencias, con ellas se da forma a modelos complejos de la naturaleza para entenderlos, crear fármacos y salvar vidas.

Guía matemáticas UNAM área 2 resuelta

Vamos con los últimos 4 ejercicios de matemáticas, área 2 de la guía de Ciencias Biológicas, Químicas y de la Salud. Recuerda tomar descansos al terminar una parte de los ejercicios, potenciará tu creatividad y mejorará tu proceso de aprendizaje.

Reactivo 66

La derivada de y=\mathrm{ln}\left({x}^{2}+5\right) es:

1. \frac{1}{{x}^{2}+5}
2. \frac{2x}{x+5}
3. \frac{2x}{{x}^{2}-5}
4. \frac{2x}{{x}^{2}+5}

Solución:

En este caso, debemos aplicar una de las fórmulas de derivación conocidas, a la vez que consideramos la regla de la cadena. Identificamos que la función logarítmica es la principal, por tanto, comenzamos derivando con su fórmula correspondiente.

{y}^{\text{'}}=\frac{{\left({x}^{2}+5\right)}^{\text{'}}}{{x}^{2}+5}

Ahora, resolvemos la derivada indicada aplicando primero la propiedad de la derivada de una suma y luego la derivada de una constante y la derivada de una potencia respectivamente.

{y}^{\text{'}}=\frac{2x}{{x}^{2}+5}

Concluimos indicando como correcta la opción d).

Otros aspirantes también leyeron:

Reactivo 67

El punto máximo de y=\mathrm{sin}\left(x\right) en el intervalo \left(-\infty , \infty \right) es:

1. 1
2. \frac{\sqrt{3}}{2}
3. \frac{1}{2}
4. 0

Solución:

Como recordarás de los temas referentes a trigonometría, la función seno (al igual que el coseno) está definida en todos los reales y su rango se encuentra acotado entre 1 y -1. Es decir, el máximo valor que puede alcanzar es +1 y el mínimo es -1.

Específicamente, la función seno vale +1 para múltiplos de \frac{\pi }{2} radiantes (90° grados), esto puede escribirse formalmente como:

\mathrm{sin}\left(x\right)=1\leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+2n\pi 

Finalizamos el ejercicio indicando como respuesta correcta la opción a).

Reactivo 68

La integral \int \sqrt{x}dx es igual a:

1. \frac{1}{2\sqrt{x}}+C
2. \frac{3}{2}\sqrt{x}+C
3. \frac{2}{3}\sqrt{x}+C
4. \frac{2}{3}x\sqrt{x}+C

Solución:

Para calcular la integral de la función radical, debemos expresarla en forma de potencia aplicando la propiedad de exponente fraccionario:

\int \sqrt{x}dx=\int {x}^{\frac{1}{2}}dx

Aplicamos la fórmula de la integral de una potencia:

\int {x}^{\frac{1}{2}}dx=\frac{{x}^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C=\frac{{x}^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}{x}^{\frac{1}{2}+1}+C

Separamos la x en dos factores aplicando la propiedad de producto de potencias de igual base.

\frac{2}{3}{x}^{\frac{1}{2}+1}+C=\frac{2}{3}x\bullet {x}^{\frac{1}{2}}+C=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C

Finalmente:

\int \sqrt{x}dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C

Seleccionamos la opción d) como la respuesta correcta.

Reactivo 69

La integral \int {\left(2x-1\right)}^{3}dx es igual a:

1. \frac{{\left(2x-1\right)}^{4}}{8}+C
2. \frac{{\left(2x-1\right)}^{4}}{4}+C
3. \frac{{\left(2x-1\right)}^{2}}{2}+C
4. \frac{{\left(2x-1\right)}^{2}}{6}+C

Solución:

En este caso, tenemos a una función lineal elevada al cubo como integrando, apliquemos cambio de variables a la base de dicha potencia:

v=2x-1\to dv=2dx

dx=\frac{1}{2}dv

Aplicamos el cambio:

\int {\left(2x-1\right)}^{3}dx\to \frac{1}{2}\int {v}^{3}dv

Aplicamos la fórmula de la integral de una potencia:

\frac{1}{2}\int {v}^{3}dv=\frac{1}{2}\frac{{v}^{4}}{4}+C=\frac{{v}^{4}}{8}+C

Devolvemos el cambio.

\frac{{v}^{4}}{8}+C\to \frac{{\left(2x-1\right)}^{4}}{8}+C

Nos queda finalmente que:

\int {\left(2x-1\right)}^{3}dx=\frac{{\left(2x-1\right)}^{4}}{8}+C

Seleccionamos como respuesta correcta la opción a).