Guía IPN Geometría Analítica del 41 al 50 resueltos

Bienvenido a nuestra última parte de la guía de ejercicios resueltos de Matemáticas para prepararte de cara al examen de admisión del IPN. En esta oportunidad, continuamos enfocados en el estudio de geometría analítica, una de las ramas fundamentales de la matemáticas. ¡Continúa con nosotros y completa tu repaso!

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Esta serie de post tiene la finalidad de que seas capaz de conocer la respuesta a los 50 ejercicios de Geometría Analítica que comprende la Guía de Matemáticas del IPN.

Ten en cuenta que para hacer más cómodas tus sesiones de estudio, hemos dividido en cinco partes esta guía. En este caso, estás frente a los ejercicios de la última parte, es decir, del 41 al 50. Sin más que añadir al respecto, te invitamos a prepararte para el examen de admisión, ¡No olvides que tienes 160 minutos para resolver esta prueba!

¿Qué viene en el examen del IPN?

El Instituto Politécnico Nacional cuenta con un examen de admisión compuesto de 140 preguntas orientadas a evaluar tus conocimientos en cinco áreas de conocimiento fundamentales. La primera parte de la prueba comprende preguntas de matemáticas y lengua, mientras que la segunda se enfoca en el abordaje de ciencias como Física, Química y Biología.

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Para que tengas una idea más clara, ten presente la cantidad de preguntas que encontrarás para cada una de estas áreas:

  • 50 preguntas de matemáticas.
  • 40 preguntas de comunicación.
  • 10 preguntas de biología.
  • 15 preguntas de química.
  • 15 preguntas de física.

Ahora, quedas invitado a repasar junto a nosotros esta última parte de nuestra guía de ejercicios de Geometría Analítica del IPN:

Reactivo 41: Conversión a coordenadas polares

Determinar las coordenadas polares del punto P(-4,-3) en el plano.

  1. r=5, \theta=36.86^{\circ}
  2. r=5, \theta=-36.86^{\circ}
  3. r=5, \theta=216.86^{\circ}
  4. r=5, \theta=-216.86^{\circ}

Solución:

Antes de pasar a realizar la transformación, es necesario identificar el cuadrante al que pertenece el punto. Como ambas coordenadas son negativas, el punto está en el tercer cuadrante y el ángulo \theta debe estar comprendido entre 180° y 270°.

r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-4)^{2}+(-3)^{2}}=5

Por estar en el cuarto cuadrante, \theta se calcula como:

\theta=180^{\circ}+\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)

\theta=180^{\circ}+\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)=216.86^{\circ}

El punto P(-4,-3) expresado en coordenadas polares es:

P\left(5,216.86^{\circ}\right)

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

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Reactivo 42: Circunferencia en Coordenadas polares

Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (2,1) y radio 4 en coordenadas polares.

  1. \operatorname{rcos}(\theta) \operatorname{sen}(\theta)-2 \operatorname{sen}(\theta)-4 \cos (\theta)-11=0
  2. r^{2}-4 r \cos (\theta)-2 r \operatorname{sen}(\theta)-11=0
  3. r^{2}-4 r \operatorname{sen}(\theta)-2 \cos (\theta)-11=0
  4. 2 r^{2}+4 \operatorname{sen}(\theta)-2 \cos (\theta)-11=0

Solución:

Primero, calculamos la ecuación ordinaria de la circunferencia en coordenadas rectangulares y luego sustituimos la respectiva transformación de x \text { y } y en la expresión para representar en coordenadas polares.

(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}

(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=16

Desarrollamos la expresión.

x^{2}-4 x+4+y^{2}-2 y+1=16

x^{2}-4 x+y^{2}-2 y=11

Sustituimos:

\begin{array}{l} x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \end{array}

r^{2} \cos ^{2} \theta-4 r \cos \theta+r^{2} \sin ^{2} \theta-2 r \sin \theta=11

r^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)-4 r \cos \theta-2 r \sin \theta=11

Aplicamos la identidad Pitagórica.

r^{2}-4 r \cos \theta-2 r \sin \theta-11=0

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

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Reactivo 43: Coordenadas polares a rectangulares

Determinar las coordenadas rectangulares del punto P\left(\sqrt{8}, 45^{\circ}\right) en el plano.

  1. x=-2 y=2
  2. x=2 y=-2
  3. x=-2 y=-2
  4. x=2 y=2

Solución:

Ya que la transformación es de coordenadas polares a rectangulares, podemos emplear las ecuaciones de transformación sin mayor cuidado.

\begin{array}{l} x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \end{array}

Con r=\sqrt{8} \text { y } \theta=45^{\circ} .

x=\sqrt{8} \cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{8} \sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{16}}{2}=\frac{4}{2}=2

y=\sqrt{8} \sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{8} \sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{16}}{2}=\frac{4}{2}=2

El punto P\left(\sqrt{8}, 45^{\circ}\right) en coordenadas polares es P(2,2) en coordenadas rectangulares. Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

Reactivo 44: Transformación de coordenadas

Transformar la ecuación de la circunferencia (x-4)^{2}+y^{2}=16 a su expresión en coordenadas polares.

  1. r^{2}=16
  2. r=8 \cos \theta
  3. r=16 \cos \theta
  4. r^{2}=4 \cos \theta

Solución:

Para realizar la transformación, a coordenadas polares empleamos las siguientes igualdades:

\begin{array}{l} x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \end{array}

Antes de sustituirlas, desarrollaremos el producto notable respecto de x .

(x-4)^{2}+y^{2}=16 \rightarrow x^{2}-8 x+16+y^{2}=16

x^{2}-8 x+y^{2}=0

Sustituimos.

r^{2} \cos ^{2} \theta-8 r \cos \theta+r^{2} \sin ^{2} \theta=0

Aplicamos la identidad Pitagórica y simplificamos.

r^{2} \cos ^{2} \theta+r^{2} \sin ^{2} \theta-8 r \cos \theta=0 \rightarrow r^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)-8 r \cos \theta=0

\begin{array}{c} r^{2}-8 r \cos \theta=0 \\ r=8 \cos \theta \end{array}

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 45: Distancia en coordenadas polares

Calcular la distancia entre el punto en coordenadas rectangulares (2,0) al punto (4, \pi / 2) en coordenadas polares.

  1. 2 \sqrt{\pi}
  2. 2 \sqrt{5}
  3. 5 \sqrt{2}
  4. 2 \sqrt{5 \pi}

Solución:

Para resolver el problema podemos seguir dos posibles caminos. Convertir el punto en coordenadas rectangulares a polares y aplicar el teorema del coseno para calcular la distancia o convertir el punto en coordenadas polares a rectangulares y aplicar la clásica ecuación de distancia entre dos puntos.

Por conveniencia, convertiremos el punto en coordenadas polares a rectangulares.

\begin{array}{c} (4, \pi / 2) \\ r=4 \text { y } \theta=\frac{\pi}{2}=90^{\circ} \end{array}

En coordenadas rectangulares sería:

\begin{array}{c} x=r \cos \theta=4 \cos \left(90^{\circ}\right)=0 \\ y=r \sin \theta=4 \sin \left(90^{\circ}\right)=4 \\ (4, \pi / 2) \rightarrow(0,4) \end{array}

Ahora, aplicamos la ecuación de distancia entre dos puntos rectangulares:

d(A, B)=\sqrt{(2-0)^{2}+(0-4)^{2}}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5}

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 46: Circunferencia en coordenadas polares

Identificar la ecuación de la circunferencia con centro en (-1,3) y radio 3 en coordenadas polares.

  1. r^{2}+\operatorname{rsen} \theta-6 r \cos \theta-9=0
  2. r^{2}+\operatorname{rcos} \theta-6 r \operatorname{sen} \theta-9=0
  3. r^{2}+2 r \cos \theta-6 r \operatorname{sen} \theta+1=0
  4. r^{2}+2 r \operatorname{sen} \theta-6 r \cos \theta+1=0

Solución:

Primero, determinaremos la ecuación general de la circunferencia con los datos del problema y luego aplicamos la transformación a coordenadas polares.

La circunferencia en su forma general se escribe como:

x^{2}+y^{2}-2 h x-2 k y+h^{2}+k^{2}=r^{2}

Donde h \text { y } k son las coordenadas del centro y r el radio de la circunferencia. Sustituimos los valores dados por el problema en la ecuación general.

x^{2}+y^{2}+2 x-6 y+1+9=9

x^{2}+y^{2}+2 x-6 y+1=0

Sustituimos en la ecuación:

\begin{array}{l} x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \end{array}

r^{2} \cos ^{2} \theta+r^{2} \sin ^{2} \theta+2 r \cos \theta-6 r \sin \theta+1=0

Aplicamos la identidad Pitagórica.

r^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)+2 r \cos \theta-6 r \sin \theta+1=0

r^{2}+2 r \cos \theta-6 r \sin \theta+1=0

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

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Reactivo 47: Ecuaciones paramétricas

La parametrización en un plano corresponde a:

  1. Un punto
  2. Un plano
  3. Una curva
  4. Una región

Solución:

Uno de los problemas fundamentales de la geometría analítica es la representación de curvas a partir de ecuaciones analíticas, de como mucho, dos variables en el plano. En ocasiones, es posible (o conveniente) introducir un parámetro para simplificar el análisis de un determinado lugar geométrico.

En resumen, las curvas en el plano pueden ser representadas por un sistema de ecuaciones que dependen es un único parámetro dentro de un intervalo de valores, comúnmente denominado   t o \lambda .

Concluimos entonces que, la parametrización en un plano corresponde a una curva. Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 48: Ecuaciones paramétricas

Las siguientes ecuaciones \begin{array}{l} x=2+5 \cos \theta \\ y=4+5 \text { sen } \theta \end{array} \text { para, } 0 \leq \theta<2 \pi corresponden a la parametrización de:

  1. Una recta
  2. Una elipse
  3. Una hipérbola
  4. Una circunferencia

Solución:

Resolver estos problemas requiere comúnmente algo de astucia matemática y mucha práctica, el objetivo es deshacerse de la variable que sobre la que está parametrizado el SE. Nuestro parámetro es \theta , debemos encontrar una identidad trigonométrica que permita deshacernos de él.

Ya que las identidades son el seno y el coseno, podemos aprovechar la identidad Pitagórica para deshacernos del parámetro. Despejamos cada identidad y elevamos al cuadrado.

x=2+5 \cos \theta \rightarrow x-2=5 \cos \theta

y=4+5 \operatorname{sen} \theta \rightarrow y-4=5 \operatorname{sen} \theta

Elevamos al cuadrado ambos lados.

(x-2)^{2}=25 \cos ^{2} \theta

(y-4)^{2}=25 \operatorname{sen}^{2} \theta

Sumamos ambas ecuaciones.

(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=25 \cos ^{2} \theta+25 \operatorname{sen}^{2} \theta

Extraemos el factor común 25 y aplicamos la identidad Pitagórica.

(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=25

Es la ecuación de una circunferencia con centro en (2,4) y radio 5.

Comparando con las opciones del problema, la respuesta correcta es la d).

Reactivo 49: Ecuaciones paramétricas de la elipse

Identificar las ecuaciones paramétricas de una elipse.

  1. x=\operatorname{acos} \theta, y=\operatorname{bsen} \theta
  2. x=\operatorname{asen} \theta, y=\operatorname{bcos} \theta
  3. x=\operatorname{rcos} \theta, y=\operatorname{rsen} \theta
  4. x=\operatorname{rsen} \theta, y=\operatorname{rcos} \theta

Solución:

Las ecuaciones paramétricas para una elipse centrada en el origen y con lado mayor en el eje   x , se pueden obtener realizando un estudio geométrico de la elipse.

Las coordenadas del punto P que pertenecen a la elipse, pueden determinarse si realizamos un análisis de cada una por separado. La circunferencia naranja de radio igual al lado menor de la elipse, nos puede ayudar a determinar la coordenada y como:

y=b \sin \theta

La coordenada en x del punto puede determinarse con ayuda de la circunferencia azul de radio igual al lado mayor de la elipse. Si la hipotenusa es a \text { у } x es el cateto adyacente, podemos representarla como:

x=a \cos \theta

El par de ecuaciones paramétricas de la elipse serían:

x=a \cos \theta

y=b \sin \theta

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

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Reactivo 50: Ecuaciones paramétricas de la elipse

Identificar las ecuaciones paramétricas de una elipse con centro en (1,3) , eje mayor 4 y eje menor 2.

  1. \begin{array}{l} x=1+4 \cos \theta \\ y=3+2 \operatorname{sen} \theta \end{array} \forall 0 \leq \theta<2 \pi
  2. \begin{array}{l} x=3+4 \cos \theta \\ y=1+2 \operatorname{sen} \theta \end{array} \forall 0 \leq \theta<2 \pi
  3. \begin{array}{l} x=1+2 \cos \theta \\ y=3+4 \operatorname{sen} \theta \end{array} \forall 0 \leq \theta<2 \pi
  4. \begin{array}{l} x=3+2 \cos \theta \\ y=1+4 \operatorname{sen} \theta \end{array} \forall 0 \leq \theta<2 \pi

Solución:

Para resolver este problema, emplearemos la traslación de ejes ya que simplificará enormemente los cálculos. Diremos que x^{\prime}=x-1 \text { y } y^{\prime}=y-3 , de esta forma, parametrizamos la elipse en el origen de x^{\prime} \text{ y } y^{\prime} y luego devolvemos el cambio para dejar todo en función de x \text { y } y .

Ya que el enunciado no indica a quien es paralelo el eje mayor, supondremos que al eje x . Las ecuaciones para parametrizar la elipse son:

\begin{array}{l} x^{\prime}=a \cos \theta \\ y^{\prime}=b \sin \theta \end{array}

Con a \text{ y } b el eje mayor y menor respectivamente.

\begin{array}{l} x^{\prime}=4 \cos \theta \\ y^{\prime}=2 \sin \theta \end{array}

Devolvemos el cambio para x^{\prime} \text{ y } y^{\prime} .

\begin{array}{l} x-1=4 \cos \theta \\ y-3=2 \sin \theta \end{array}

Despejamos.

\begin{array}{l} x=1+4 \cos \theta \\ y=3+2 \sin \theta \end{array}

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

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