Guía IPN Cálculo Integral del 41 al 50 resueltos

Sabemos que para ti es muy importante ser admitido en la carrera de tus sueños y poder estudiar en el Instituto Politécnico Nacional, por esta razón nos hemos dedicado a resolver cada uno de los ejercicios de la guía del IPN en el área de matemáticas, específicamente, los correspondientes a Cálculo Integral. De esta manera llegamos a esta quinta parte de nuestra guía resuelta.

CALCULO-INTEGRAL (1) guia ipn resuelta

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Recuerda que para abordar los ejercicios de cálculo, primero debes tener un manejo adecuado de otras áreas de matemática más elementales, así que tenlo presente.

Ten en cuenta que el examen de admisión del IPN comprende un total de 130 preguntas, así que además de prepararte para los reactivos de matemáticas, también debes dar importancia a todos los demás componentes de esta prueba, solo así serás capaz de lograr un buen puntaje.

¿Qué viene en el examen del IPN?

Ten presente que el examen de admisión del Instituto Politécnico Nacional está basado en dos partes. La primera comprende preguntas de matemáticas y comunicación, mientras que la segunda, aborda diferentes ciencias como Biología, Física y Química.

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Ahora bien, para que entiendas la importancia que tiene cada una de estas áreas en el abordaje de este examen, aquí te mostramos la cantidad de preguntas que conforman la estructura general de esta prueba:

  • 50 preguntas de matemáticas.
  • 40 preguntas de comunicación.
  • 10 preguntas de biología.
  • 15 preguntas de química.
  • 15 preguntas de física.

Dejando claro el punto anterior, a continuación te dejamos con la última parte de nuestra guía de ejercicios resueltos de Cálculo Integral del IPN:

Reactivo 41: Área bajo la curva

Calcular el área de f(x)=\sqrt{x-3} en el intervalo [3,12] .

  1. \sqrt{18} u^{2}
  2. \frac{\sqrt{3}}{4} u^{2}
  3. \frac{18}{3} u^{2}
  4. 18 u^{2}

Solución:

Para encontrar el área bajo una curva real, es necesario integrar definidamente a la función en el intervalo cerrado [3,12] .

\int_{3}^{12} \sqrt{x-3} d x

Esta integral es fácil de resolver por introducción al símbolo diferencial ya que la derivada de x-3 es 1.

\int_{3}^{12} \sqrt{x-3} d x=\int_{3}^{12} \sqrt{x-3} d(x-3)

=\left.\frac{2}{3}(x-3)^{\frac{3}{2}}\right|_{3} ^{12}

Evaluamos el resultado entre los límites de integración.

=\frac{2}{3}\left[(12-3)^{3 / 2}-(3-3)^{\frac{3}{2}}\right]

=\frac{2}{3} \cdot 27=18 \mathrm{u}^{2}

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

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Reactivo 42: Área bajo la Curva e Integral Definida

Calcular el valor de:

\int_{5}^{9} \frac{x d x}{\sqrt{x^{2}+144}}

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3

Solución:

En este caso, podemos aplicar cambio de variable a la expresión dentro del radical en el denominador gracias a que tenemos x en el numerador.

w=x^{2}+12^{2} \rightarrow d w=2 x d x

Mientras mantenemos el cambio de variable, se expresan los límites de integración como w_{a} \text{ y } w_{b} .

=\frac{1}{2} \int_{w_{a}}^{w_{b}} \frac{1}{\sqrt{w}} d w=\left.\sqrt{w}\right|_{w_{a}} ^{w_{b}}

Deshacemos el cambio de variables.

\left.\sqrt{w}\right|_{w_{a}} ^{w_{b}}=\left.\sqrt{x^{2}+12^{2}}\right|_{5} ^{9}=15-13=2 u^{2}

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

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Reactivo 43: Integral Definida y Área bajo la Curva

Calcular el valor de:

\int_{1}^{7} e^{4} d x

  1. e
  2. 2 e^{4}
  3. 3 e^{5}
  4. 6 e^{4}

Solución:

Esta integral es bastante simple de resolver. Aplicamos la propiedad de la integral de una constante y evaluamos.

e^{4} \int_{1}^{7} d x=\left.e^{4} x\right|_{1} ^{7}=e^{4}(7-1)=6 e^{4}

Concluimos entonces que la respuesta correcta es la opción d).

Reactivo 44: Integral Definida y Área bajo la Curva

Resolver la siguiente integral definida:

\int_{0}^{6} \frac{1}{3} x e^{x} d x

  1. 3\left(5 e^{4}+2\right)
  2. \frac{1}{3}\left(5 e^{4}+2\right)
  3. \frac{1}{3}\left(5 e^{6}+1\right)
  4. 3\left(5 e^{6}+1\right)

Solución:

Resolvemos la integral aplicando integración por partes. En el caso de integrales definidas, la forma de integración por partes seria:

\int_{a}^{b} u d v=\left.u v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u

Para este caso, se escoge como u a x y a d v e^{x} .

u=x

d v=e^{x} d x

d u=d x

v=e^{x}

Aplicando la fórmula de integración por partes queda:

\int_{0}^{6} \frac{1}{3} x e^{x} d x=\left.\frac{1}{3} x e^{x}\right|_{0} ^{6}-\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{x} d x=\left.e^{x}(x-1)\right|_{0} ^{6}

Evaluamos.

=e^{6}(6-1)-e^{0}(0-1)

=\frac{1}{3}\left(5 e^{6}+1\right)

Finalmente.

\int_{0}^{6} \frac{1}{3} x e^{x} d x=\frac{1}{3}\left(5 e^{6}+1\right)

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 45: Integral definida interpretación gráfica

Seleccionar el área descrita por la integral.

-\int_{0}^{1}\left(x^{3}-x\right) d x+\int_{1}^{2}\left(x^{3}-x\right) d x=\frac{5}{2}

Solución:

Con ayuda de alguna herramienta para graficar funciones matemáticas como Geogebra, podemos comprobar que la gráfica de f(x)=x^{3}-x es:

 

Además, podemos darnos cuenta que la primera integral que va de [0,1] se multiplica por -1 para obtener el valor positivo de dicha área porque en ese tramo la función es siempre negativa. Para el otro intervalo de [1,2] , la integral es positiva porque la función es siempre positiva en dicho tramo.

En conclusión, el intervalo de integración total seria [0,2] . Examinando en las opciones que ofrece el problema, la b) muestra el área de la curva en el intervalo señalado antes. La respuesta correcta es la opción b).

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Reactivo 46: Área entre curvas

Calcular el área que se forma entre las curvas:

  \begin{array}{l} x^{3}-y-1=0 \\ x-y-1=0 \end{array}

  1. \frac{1}{8} u^{2}
  2. \frac{1}{4} u^{2}
  3. \frac{1}{2} u^{2}
  4. 1 u^{2}

Solución:

El procedimiento para resolver problemas de área entre curvas es:

  • Graficar ambas curvas en el mismo plano cartesiano
  • Identificar si conviene hacer la integración respecto al eje x o respecto al eje y
  • En el caso que sea respecto al eje x, el integrando será función más alta menos función más baja. De ser respecto al eje y, el integrando será función más a la derecha menos función más hacia la izquierda
  • Calcular los puntos de corte
  • Integrar definidamente

Con ayuda de la calculadora gráfica Geogebra, obtenemos el siguiente gráfico:

La integración será más sencilla hacerla respecto del eje x.

En este caso, será necesario dividir la integral en dos partes porque de [-1,0] la recta es la función baja y la cubica es la función más alta, pero de [0,1] la más alta es la recta.

Llamaremos a las curvas:

\begin{array}{l} f(x)=x^{3}-1 \\ g(x)=x-1 \end{array}

Para simplificar la escritura a partir de acá. No será necesario hacer la intersección, porque con el gráfico se obtienen por simple inspección. De no haber sido así, se igualan ambas funciones y se resuelve la ecuación.

Las integrales serían:

\int_{-1}^{0}[f(x)-g(x)] d x+\int_{0}^{1}[g(x)-f(x)] d x

Sustituimos.

\int_{-1}^{0} x^{3}-1-(x-1) d x+\int_{0}^{1} x-1-\left(x^{3}-1\right) d x

\int_{-1}^{0}\left(-x+x^{3}\right) d x+\int_{0}^{1}\left(-x^{3}+x\right) d x

Aplicamos las respectivas formulas básicas de integración.

\frac{x^{4}}{4}-\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{-1} ^{0}-\frac{x^{4}}{4}+\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0} ^{1}

Evaluamos:

=0-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+0=\frac{1}{4} u^{2}+\frac{1}{4} u^{2}

=\frac{1}{2} u^{2}

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 47: Área entre curvas

Determinar el área limitada por el eje X, la curva f(x)=\frac{x}{x+1} y las rectas x=1, x=3 .

  1. (2+\ln 2) u^{2}
  2. (2-\ln 2) u^{2}
  3. (\ln 2) u^{2}
  4. 2 u^{2}

Solución:

En este caso, solo debemos calcular la integral definida de la función f(x) en el intervalo cerrado [1,3] , que corresponderá al área bajo la curva en dicho tramo.

A_{c}=\int_{1}^{3} \frac{x}{x+1} d x

Aplicamos el artificio matemático de sumar y restar 1 en el numerador.

\int_{1}^{3} \frac{x+1-1}{x+1} d x=\int_{1}^{3} d x-\int_{1}^{3} \frac{1}{x+1} d x

Resolviendo nos queda:

=\left.x\right|_{1} ^{3}-\left.\ln (x+1)\right|_{1} ^{3}=(3-1)-\ln (4)+\ln (2)

=2+\ln (2)-\ln (4)=2-[\ln (4)-\ln (2)]

Finalmente.

A_{c}=(2-\ln (2)) u^{2}

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 48: Integral de la Longitud de Arco

Seleccionar la integral que representa la longitud de arco de la curva y=x^{2} desde el punto (1,1) al punto (2,4) .

  1. s=\int_{1}^{2} \sqrt{1+4 x^{2}} d x
  2. s=\int_{1}^{4} \sqrt{1+4 x^{2}} d x
  3. s=\int_{1}^{2} \sqrt{1+x^{2}} d x
  4. s=\int_{1}^{4} \sqrt{1+x^{2}} d x

Solución:

La forma general para calcular la longitud de arco, respecto al eje x es:

S=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} d x

En base a ello, el intervalo de integración respecto de la variable x \text { es }[1,2] . Por su parte, la derivada de la función dada es:

y=x^{2} \rightarrow y^{\prime}=2 x

Sustituyendo todo en la fórmula de longitud de arco nos queda:

S=\int_{1}^{2} \sqrt{1+(2 x)^{2}} d x=\int_{1}^{2} \sqrt{1+4 x^{2}} d x

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

Reactivo 49: Integral para Medir el Arco de Circunferencia

Seleccionar la integral que determina la longitud de arco de la circunferencia: x^{2}+y^{2}=9

  1. s=\int_{-3}^{3} \frac{3}{\sqrt{9-x^{2}}} d x
  2. s=2 \int_{0}^{3} \frac{3}{\sqrt{9-x^{2}}} d x
  3. s=\int_{0}^{3} \frac{3}{\sqrt{9-x^{2}}} d x
  4. s=2 \int_{-3}^{3} \frac{3}{\sqrt{9-x^{2}}} d

Solución:

Recordemos, la fórmula para calcular la longitud de arco es:

S=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} d x

Derivamos la relación de la circunferencia respecto de x :

2 x+2 y y^{\prime}=0

Despejamos a y^{\prime} de esta derivada implícita.

y y^{\prime}=-x

y^{\prime}=-\frac{x}{y}

Sustituimos a y \text { por } \sqrt{3^{2}-x^{2}}
y^{\prime}=-\frac{x}{\sqrt{3^{2}-x^{2}}}

Ahora, solo queda determinar los límites de integración. Ya que la circunferencia está centrada en el origen, podemos solo medir el arco de media circunferencia y multiplicarlo por 2 para obtener el arco entero.

La integral para el cálculo del arco sería:

2 \int_{-3}^{3} \sqrt{1+\frac{x^{2}}{9-x^{2}}} d x

=2 \int_{-3}^{3} \sqrt{\frac{9-x^{2}+x^{2}}{9-x^{2}}} d x=2 \int_{-3}^{3} \frac{3}{\sqrt{9-x^{2}}} d x

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

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Reactivo 50: Ecuaciones Diferenciales Inmediatas

Un dispositivo electrónico en uso adquiere una carga en un tiempo de 0 a 5h. Si la razón de cambio de la carga con respecto al tiempo se describe como:

\frac{d Q}{d t}=-2 e^{-t}+4

Donde Q es la carga medida en Watts y el tiempo t medido en horas. Si para t=0, Q(0)=1 W , encontrar la función de carga con su constante de integración.

  1. Q(t)=2 e^{-t}+4 t-1
  2. Q(t)=2 e^{-t}+4 t-2
  3. Q(t)=-2 e^{-t}+4 t-1
  4. Q(t)=-2 e^{-t}+4 t-2

Solución:

Mediante la ecuación diferencial enunciada por el problema, se modela la variación del consumo de carga o potencia de un dispositivo electrónico. Para encontrar la potencia instantánea Q(t) , solo debemos integrar la ecuación diferencial elemental y sustituir la condición frontera dada.

\frac{d Q}{d t}=-2 e^{-t}+4 \rightarrow \int \frac{d Q}{d t} d t=\int\left(-2 e^{-t}+4\right) d t

Q(t)=\int\left(-2 e^{-t}+4\right) d t

Resolviendo nos queda:

Q(t)=2 e^{-t}+4 t+C

Evaluamos la condición frontera para hallar la solución particular a la ED.

Q(0)=1 w \rightarrow 2 e^{0}+0+C=1

C=1-2=-1

Sustituimos.

Q(t)=2 e^{-t}+4 t-1

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

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