Guía IPN Cálculo Diferencial reactivos 41 al 50 resueltos

Sabemos lo importante que es para ti el hecho de ser admitido en el Instituto Politécnico Nacional y tener la oportunidad de estudiar la carrera de tus sueños, por eso, te invitamos a que te prepares muy bien y así tener una mayor probabilidad de tener un excelente rendimiento en tu examen de admisión. Para ello, hemos preparado una serie de guías resueltas que te ayudarán a estudiar. En este caso, estás frente a la quinta parte de nuestra guía resuelta orientada a cálculo diferencial.

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Debido a la dificultad de las preguntas de esta área, te recomendamos dedicarle un buen tiempo de estudio. Lo cual no significa que debes dejar en segundo plano el resto de las áreas que componen este examen.

En vista de ello, en el siguiente post te encontrarás con 10 ejercicios resueltos a detalle para que seas capaz de entenderlos y practicar por tu cuenta. Recuerda que el estudio de cálculo es uno de los campos más exigentes de este examen, por lo que es importante que tengas una buena base en matemáticas antes de empezar a estudiar este campo.

¿Qué viene en el examen del IPN?

Ahora bien, otro recurso que te servirá para tener una percepción más clara de cómo es el examen de admisión del Instituto Politécnico Nacional, es conocer cómo se distribuyen las preguntas de este examen según las áreas de conocimiento a evaluar. Ten en cuenta que la primera parte comprende preguntas de comunicación y matemáticas, mientras que la segunda, aborda Física, Química y Biología.

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En vista de esto, acá te dejamos a detalle la composición de este examen:

  • 50 preguntas de matemáticas.
  • 40 preguntas de comunicación.
  • 10 preguntas de biología.
  • 15 preguntas de química.
  • 15 preguntas de física.

Ahora que sabes esto, damos paso a dejarte con la última parte de esta guía resuelta:

Reactivo 41: Derivad de una función en un punto

Ordenar las siguientes funciones, de mayor a menor, de acuerdo con el valor de su derivada en el punto x=0 :

  1. f(x)=e^{x}+x
  2. g(x)=\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}
  3. h(x)=\operatorname{sen} x
  4. y(x)=\sqrt{3 x+1}

 

  1. 4,3,2,1
  2. 4,1,2,3
  3. 1,4,3,2
  4. 1,4,2,3

Solución:

Para resolver este problema, pasaremos por derivar cada función y evaluarla en el punto dado. Finalmente, los valores obtenidos se ordenan de forma decreciente y se concluye escogiendo una de las opciones dadas.

Función 1.

f(x)=e^{x}+x

La derivada de la función es:

f^{\prime}(x)=\left(e^{x}+x\right)^{\prime}=e^{x}+1

El dominio de  f^{\prime}(x) es todos los reales, por lo que existe  en  .

f^{\prime}(0)=e^{0}+1=1+1=2

Función 2.

g(x)=\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}

La derivada de la función es:

g^{\prime}(x)=\left[\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}\right]^{\prime}=2\left(x+\frac{1}{4}\right)

El dominio de g^{\prime}(x) son todos los reales, por lo que existe  g^{\prime} en x=0 .

g^{\prime}(x)=2\left(0+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}

Función 3.

h(x)=\operatorname{sen} x

La derivada de la función es:

h^{\prime}(x)=(\operatorname{sen} x)^{\prime}=\cos x

El dominio de h^{\prime}(x) son todos los reales, por lo que existe h^{\prime} \text { en } x=0 .

h^{\prime}(x)=\cos 0=1

Función 4.

y(x)=\sqrt{3 x+1}

La derivada de la función es:

y^{\prime}(x)=(\sqrt{3 x+1})^{\prime}=\frac{3}{2 \sqrt{3 x+1}}

El dominio de y^{\prime}(x) son todos los reales mayores que   -\frac{1}{3} , por lo que existe y^{\prime} en x=0 .

y^{\prime}(0)=\frac{3}{2 \sqrt{3(0)+1}}=\frac{3}{2}

Combinando todas las respuestas queda:

1, 4, 3, 2

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

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Reactivo 42: Derivada en un punto

Calcular la derivada de la función f(x)=\sec ^{2}(3 x)-\tan ^{2}(3 x) en el punto x=-1 .

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2

Solución:

Antes de comenzar a derivar la función, nos damos cuenta que la función es constante ya que:

\tan ^{2}(3 x)+1=\sec ^{2}(3 x) \rightarrow 1=\sec ^{2}(3 x)-\tan ^{2}(3 x)

Por identidades trigonométricas, la función es 1.

f(x)=\sec ^{2}(3 x)-\tan ^{2}(3 x)=1

La derivada de la función f(x) es cero, ya que la función es constante para todos los reales. La respuesta correcta es la opción b).

Reactivo 43: Derivadas de Orden Superior

Calcular la segunda derivada de la función: f(x)=\ln (\sec x)

  1. \csc ^{2} x
  2. \cot ^{2} x
  3. \tan ^{2} x
  4. \sec ^{2} x

Solución:

Para encontrar la segunda derivada, se deriva una primera vez a la función y dicho resultado se vuelve a derivar.

f^{\prime}(x)=[\ln (\sec x)]^{\prime}=\frac{(\sec x)^{\prime}}{\sec x}=\frac{\sec x \cdot \tan x}{\sec x}=\sec x

Se calcula ahora la segunda derivada:

f^{\prime \prime}(x)=\left[f^{\prime}(x)\right]^{\prime}=(\sec x)^{\prime}=\sec ^{2} x

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la correcta es la d).

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Reactivo 44: Derivadas de Orden Superior

Calcular la segunda derivada de la siguiente función, si x>0 : f(x)=-2 \cos (\ln x)

  1. \frac{2 \cos (\ln x)-2 \operatorname{sen}(\ln x)}{x^{2}}
  2. \frac{-2 \cos (\ln x)+2 \operatorname{sen}(\ln x)}{x^{2}}
  3. \frac{-\cos \left[\ln \left(x^{2}\right)\right]}{x^{2}}
  4. \frac{\cos \left[\ln \left(x^{2}\right)\right]}{x^{2}}

Solución:

Para calcular la segunda derivada de esta función, se deriva una primera vez y dicho resultado se vuelve a derivar. Ese último cálculo es la segunda derivada de la función.

f^{\prime}(x)=[-2 \cos (\ln x)]^{\prime}=-2(\ln x)^{\prime}[\cos (\ln x)]^{\prime}=-\frac{2[-\sin (\ln x)]}{x}=\frac{2 \sin (\ln x)}{x}

La segunda derivada se calcula como:

f^{\prime \prime}(x)=\left[f^{\prime}(x)\right]^{\prime}=\left[\frac{2 \sin (\ln x)}{x}\right]^{\prime}=\frac{\frac{2}{x} \cos (\ln x) x-2 \sin (\ln x)}{x^{2}}

f^{\prime \prime}(x)=\frac{2 \cos (\ln x)-2 \sin (\ln x)}{x^{2}}

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

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Reactivo 45: Aceleración de un Cuerpo

Determinar la aceleración \left(\text { en } m / s^{2}\right) de una partícula después de 4 segundos, si su desplazamiento está determinado por s(t)=\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}}+5 .

  1. -1/2
  2. \frac{1}{2}
  3. 0.48
  4. 0

Solución:

A partir de las leyes de Newton del Movimiento se sabe que:

a(t)=\frac{d v}{d t}=\frac{d^{2} s}{d t^{2}}

Nota: las magnitudes como desplazamiento, velocidad y aceleración son vectoriales. Suponemos en todo momento que trabajamos con sus respectivos módulos.

De esta forma, podremos calcular la aceleración como la segunda derivada del desplazamiento respecto del tiempo.

a(t)=\frac{d^{2}\left(\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}}+5\right)}{d t^{2}}

Aplicamos primera derivada.

a(t)=\frac{d\left(2 t^{\frac{1}{2}}\right)}{d t}

Aplicamos la segunda derivada.

a(t)=t^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{t}}

Evaluamos finalmente a la aceleración en :

a(t=4 s)=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2} m / s^{2}

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta seria la b).

Reactivo 46: Pendiente de la Recta

Encontrar los valores de las pendientes de la recta tangente a la curva descrita por la ecuación algebraica x^{3}-9 y^{2}=4 en el punto x=2 .

  1. \begin{array}{l} m_{1}=-\frac{1}{6} \\ m_{2}=\frac{1}{6} \end{array}
  2. \begin{array}{l} m_{1}=-\frac{2}{3} \\ m_{2}=\frac{2}{3} \end{array}
  3. \begin{array}{l} m_{1}=-1 \\ m_{2}=1 \end{array}
  4. \begin{array}{l} m_{1}=-6 \\ m_{2}=6 \end{array}

Solución:

Para obtener las pendientes de las rectas en x=2 , es necesario despejar respecto de y .

x^{3}-9 y^{2}=4 \rightarrow y=\pm \frac{x^{2}}{2 \sqrt{x^{3}-4}}

Tiene dos soluciones respecto de  y por tanto, dos pendientes de recta en un mismo punto. Además, el valor  pertenece al dominio de las derivadas por lo que es diferenciable allí. Evaluamos ambas derivadas:

y_{+}=\frac{(2)^{2}}{2 \sqrt{(2)^{3}-4}}=1

y_{-}=-\frac{(2)^{2}}{2 \sqrt{(2)^{3}-4}}=-1

Las pendientes de las rectas tangentes a la relación en el punto son: m_{1}=-1 \text{ y } m_{2}=1. Comparando con las opciones del problema, la respuesta correcta es la c).

Nota: deja de ser una función porque para un mismo valor del dominio, hay dos imágenes distintas.

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Reactivo 47: Derivación Implícita

Derivar implícitamente la siguiente ecuación trigonométrica: y \cos x=x \sin y

  1. \frac{-\sin y+y \sin x}{\cos x+x \cos y}
  2. \frac{-\sin y+y \sin x}{\cos x-x \cos y}
  3. \frac{\sin y+y \sin x}{\cos x+x \cos y}
  4. \frac{\sin y+y \sin x}{\cos x-x \cos y}

Solución:

Para derivar de forma implícita una expresión con x y y mezclados entre los términos, se deriva aplicando regla de la cadena a los términos con y , dejando indicada a y^{\prime} . Ejemplo:

La derivada de y^{2} es 2 y y^{\prime}.

Posteriormente, se despeja el resultado respecto de y^{\prime}. Con esto aclarado, procedemos a aplicarlo a nuestro ejercicio.

(y \cos x)^{\prime}=(x \sin y)^{\prime}

y^{\prime} \cos x-y \sin x=\sin y+x y^{\prime} \cos y

Agrupamos términos con y^{\prime} en un mismo miembro y despejamos.

y^{\prime} \cos x-x y^{\prime} \cos y=\sin y+y \sin x

y^{\prime}(\cos x-x \cos y)=\sin y+y \sin x

y^{\prime}=\frac{\sin y+y \sin x}{\cos x-x \cos y}

Comparando con las opciones del problema, la respuesta correcta es la d).

Reactivo 48: Puntos críticos

Si la derivada de una función en un punto es cero, podemos asegurar que la función tiene un:

  1. Mínimo en ese punto
  2. Máximo en ese punto
  3. Punto crítico en ese punto
  4. Punto de inflexión en el punto

 

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Solución:

Para responder a la pregunta, es necesario recordar algunas definiciones.

Los máximos y mínimos de una función, son aquellos puntos en los que: la derivada es cero y la segunda derivada es positiva o negativa respectivamente.

En este caso, solo se habla de que la derivada es cero, nos falta información sobre la segunda derivada en el punto. Por lo tanto, se descartan la primera y segunda opción.

Un punto crítico, es aquel en el que la derivada de la función se anula. Este es exactamente el escenario planteado por el enunciado.

Terminamos por mencionar que un punto de inflexión es aquel en el que la pendiente de la recta tangente cambia de sentido y se calculan igualando a cero la segunda derivada, no la primera.

Tomando en cuenta todo el análisis hecho, la respuesta correcta es la opción c) Punto crítico en ese punto.

Reactivo 49: Puntos críticos y la gráfica de una función

¿En cuales puntos de la gráfica el valor de la derivada es cero?

  1. e,g
  2. c,e,i,g
  3. c,f,i,k
  4. a,d,j,h,b

Solución:

La derivada se anula en los llamados puntos críticos, cuando la función alcanza un máximo o un mínimo. A partir de la gráfica de la función, es posible identificar dichos puntos que cumplen con esa definición.

Puntos críticos en el intervalo (a, b) : c, f, i y k.

Comparando con las opciones del problema, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 50: Cálculo de los puntos críticos

Calcular los valores críticos de la función: y(x)=\left(x^{2}-x\right) e^{2 x}

  1. x_{1}=0, x_{2}=1
  2. x_{1}=0, x_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}
  3. x_{1}=-\frac{1}{\sqrt{2}}, x_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}
  4. x_{1}=-1-\frac{\sqrt{6}}{2}, x_{2}=-1+\frac{\sqrt{6}}{2}

Solución:

Para calcular los valores críticos de la función, se determina su primera derivada, se iguala a cero y los valores de x obtenidos en el proceso son los puntos críticos.

y(x)=\left(x^{2}-x\right) e^{2 x} \rightarrow y^{\prime}(x)=\left[\left(x^{2}-x\right) e^{2x}\right]^{\prime}

y^{\prime}(x)=\left(x^{2}-x\right)\left[e^{2 x}\right]^{\prime}+\left(x^{2}-x\right)^{\prime} e^{2 x}

y^{\prime}(x)=2\left(x^{2}-x\right) e^{2 x}+(2 x-1) e^{2 x}=\left(2 x^{2}-2 x+2 x-1\right) e^{2x}

y^{\prime}(x)=\left(2 x^{2}-1\right) e^{2 x}

Igualamos la primera derivada da la función a cero.

y^{\prime}(x)=0 \rightarrow\left(2 x^{2}-1\right) e^{2 x}=0

Para que sea cero, al menos uno de los factores debe hacerse cero. Por su parte, e^{2 x} no se hace cero nunca, por lo que solo nos queda 2 x^{2}-1 .

2 x^{2}-1=0 \rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}

Los puntos críticos de la función son x_{1}=-\frac{1}{\sqrt{2}}, x_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

Recuerda que puedes descargar la guía del IPN de forma directa a través del sitio oficial de la universidad.

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